Valentin Popov TERMODINAMICĂ ȘI FIZICĂ STATISTICĂ PROBLEME SOFIA 9

statistică

CUPRINS TERMODINAMICĂ ȘI FIZICĂ STATISTICĂ Termodinamică 3 I Primul și al doilea principiu al termodinamicii 3 Probleme generale ale primului principiu 3 Gazele 6 Radiații negre Probleme generale ale celui de-al doilea principiu Cicluri 5 II Potențiale termodinamice și condiții de echilibru 3 Generalități 34 Probleme 4 Aplicarea metodei potențiale termodinamice 38 Gaz ideal 38 Gaz Van der Waals 4 Paramagnetic ideal 46 Tijă elastică 5 Filet elastic 54 Radiații negre 56 Fizică statistică 58 I Fizică statistică clasică 58 Probleme generale 58 Probleme pentru sisteme specifice 6 II Fizică statistică cuantică 7 Probleme pentru sisteme specifice 7 87

Termodinamica I Primul și al doilea principiu al termodinamicii Probleme generale ale primului principiu Problemă Dovediți că dacă fiecare dintre cele trei variabile este o funcție diferențiată a celorlalte două considerate independente = prin ecuația = () d = d + d Diferențiem această ecuație prin at = const: + = Cu aceasta am demonstrat a treia relație Diferențăm ecuația pentru d prin at = const: + = Din ultimele două ecuații urmează = () Cu aceasta am dovedit a doua relație Combinând în cele din urmă relația a doua și a treia ajungem la prima relație egalitatea lanțului tnar Problemă Dovediți relațiile m C = CC m C = CC mm + = 3

Soluție Din a doua egalitate a primului principiu đq = du + d = C d + d = Cd + d = md + md determinăm d (CC) d = dd și înlocuim înapoi în cele două părți ale sale expresia obținută pentru d CC đq = d + d CCCC Comparăm cele două laturi ale ultimei ecuații și obținem rezultatul dorit Ultima relație se obține prin combinarea primelor două Problema 3 Demonstrați relațiile C = CC = C Soluție Din primul principiu đq = C d + d = Cd + d prin diferențierea de la constante și obținem đq = C = C + đq = C = C + dd Din aceste două ecuații ajungem la relațiile necesare Problema 4 Demonstrați relațiile (indicele S înseamnă că derivata este calculată pentru un proces adiabatic în đq =) () () S = γ () S () = () γ S γ = () γ unde γ C/C Soluție Pentru un proces adiabatic đq = Apoi din ecuația primului principiu urmează C d + d = și C d + d = Din aceste două ecuații obținem () CC = S Pentru un proces izoterm d = și din primul principiu urmează d = d unde () = 4

Din expresiile obținute pentru cele două derivate parțiale ajungem la prima relație necesară. Celelalte două relații sunt dovedite în mod similar. Problema 5 Demonstrați relația dd = K α d Soluție Începem de la ecuația în diferențiale d = d + d Folosind definițiile lui K și β și relația α = β/K convertim ecuația de mai sus în forma necesară Din ecuația obținută în diferențiale putem prin integrarea pentru K și β cunoscute pentru a obține ecuația termică a sistemului Problema 6 Utilizarea ecuației a primului principiu pentru o anumită energie internă a sistemului U = U () sau U = U () derivă expresii pentru Soluția CC și CC Să luăm în considerare U = U () Apoi scriem primul principiu în forma UU đq = du + d = d + d + d Înlocuiți đq în definiția lui C și C și obțineți CU = CUU = + + UCC = + Considerați U = U () Apoi scriem primul principiu sub forma UU đq = du + d = d + d + d Înlocuiți đq în definiția CC și C și obțineți UU = + CU = + UCC = 5

Problema 7 Utilizarea ecuației primului principiu pentru o anumită energie internă a sistemului M u = u (m) sau u = u () derivă expresii pentru c M c și cc Soluție Se consideră u = u (m) Apoi scriem prima principiu sub forma uu đq = du dm = d + dm dm MMM Înlocuiți đq în definiția lui c și M c și obțineți c M u = M cuu M = + MM u M cc = MM Considerăm u = u () Atunci scrieți primul principiu sub forma uu đq = du dm = d + d dm Înlocuiți đq în definiția lui c și M c și obțineți c M uu = + M cu M = M uc cm = M Problema 8 Dovediți că între susceptibilitatea adiabatică (MH) susceptibilitate izotermă (MH) s χ = și χ = există relația χ/χ = c/css M Soluție Urmăm soluția pentru K/K = C/C prin substituirea () (M) S s Probleme cu gaze Derivați ecuația termică a unui gaz ideal pentru un proces adiabatic γ = const γ = const γ γ = const Prima dintre aceste trei ecuații se numește ecuația Poisson Demonstrați că adiabaticul este abrupt de la izotermă în fiecare punct din diagramă 6

const = γ = γ γ + Apoi folosind ecuația Clapeyron-Mendeleev (/) = m MR putem scrie R = γ = ρ ρ γ = m γ M Prin urmare c S = = ρ R γ M c = = ρ RM cc S = γ> Formula pentru c este cunoscută ca formula lui Newton și aceea pentru c S este cunoscută sub numele de formula lui Laplace Problema 4 Pe o diagramă, izotermele de gaz Van der Waals au extrema definită de condiția (/) = Găsiți ecuația curbei extremului Soluție Condiție pentru extremitatea izotermelor ecuației van der Waals () = ν R/ba/este ν R a = + = (b) 3 Prin urmare, obținem ecuația curbei extremităților () a izotermelor a ab = 3 Problema 5 Găsiți maximul) curbei extreme a ecuației termice a gazului Van der Waals Acest punct se numește punctul critic Soluție Condiția maximului curbei extremului este da 6ab = + = d 3 4 8

la presiune zero temperatura determinată de condiția de mai sus se numește temperatura Boyle Găsiți ecuația curbei Boyle și temperatura Boyle Soluția Condiția curbei Boyle în parametrii dați (πϕ) ϕ = ϕ + π = π π τ τ duce la ecuația Boyle sub forma 3 3 3ϕ π = (3 ϕ) τ = ϕ 8 ϕ Pentru π = și ϕ obținem temperatura Boyle τ = 7/8 sau = a/bν R Evident că această condiție coincide cu condiția pentru dispariția coeficientului viral. Comparația arată că = (7/8) te gazul real este aproximativ ideal la temperaturi peste 3375 ori temperatura punctului critic c Problema 9 Găsiți α și κ pentru gazul Van der Waals și arătați că la = c sunt divergenți la = c Soluție Diferențiam presiunea în volum și punem = c = 3b ν R a ν R a = + = + bb (b) 3 4 7 3 Înlocuiți în definiția lui κ și obțineți κ 3ν R a 4b = = + = 4b 9b 3ν R c În mod similar diferențiați temperatura prin volum a ab ν R 4a ν R = + + = + ν ν 3 R b R 7b b Înlocuiți în definiția lui α și obțineți α 8a = = + = 3 7bν R 3 c

Radiația neagră Problemă Derivați ecuația unui proces adiabatic pentru radiația neagră 4/3 = const/3 = const 4 = const 4 folosind acel U = σ și σ 4 = (/ 3) Soluție Din ecuația primului principiu ca pozitiv pentru un proces adiabatic đq = obținem: 4 3 đq = du + d = σ (d + 4 d) + d = d + d = 3 dd = 3 Prin urmare, prin integrare găsim ecuația adiabatică necesară Observăm că ecuația adiabatică 4/3 = se poate obține și din ecuația = (/ 3) astfel: đq = du + d = 3 d () + d = 3d + 4d = U d 4 d = 3 Prin urmare, cu integrarea găsim ecuația adiabaticului 4/3 = const Problemă Găsiți ecuația adiabaticului unui gaz de electroni pentru care = (/ 3) Soluția U Din ecuația primului principiu dacă stabilim un proces adiabatic đq = obținem: đq = du + d = 3 3 3 3 5 5 d () + d = d + d + d = d + d = d 5 d = 3 Integrăm ultima ecuație și obținem 5/3 = const Prin urmare, în procesele adiabatice, gazul electronic se comportă ca gaz ideal monoatomic obișnuit cu γ = 5/3

cu frecare practic mică contracția va fi însoțită de eliberare de căldură și sistemul se va încălzi. Prin urmare, este imposibil să realizăm un ciclu Carnot cu izotermă la = și să folosim al doilea principiu pentru a demonstra al treilea principiu (Einstein). Procesul menționat este ireversibil și, prin urmare, dovezile celui de-al treilea principiu care utilizează formula pentru eficiența unui proces Carnot reversibil sunt eronate. Pornind de la ecuația de bază a termodinamicii du = ds d pentru U = U () și U = U () putem scrie SSUU ds = d + d = d + + d SSUU ds = d + d = dd + + + Folosim egalitatea derivaților de entropie mixtă UU = + UU + = + și obținem relațiile necesare Problema 4 Folosind ecuația de bază a termodinamicii și egalitatea derivatelor mixte de entropie demonstrați relațiile H = H = Р Soluție Pornind de la ecuația pentru entalpia H în diferențiale dh = ds + d pentru H = H () și H = H () putem scrie 3

SSHH ds = d + d = d + d SSHH ds = d + d = d + d Folosim egalitatea derivatelor mixte de entropie HH = HH = și obținem relațiile necesare Problema 5 Folosind al doilea principiu al termodinamicii demonstrați că rezultă din spatele 3 și 4 raportul CC = Soluție Folosind ecuația primului principiu al termodinamicii am obținut UC = C + + Folosind rezultatul din spatele 3 în acest raport obținem rezultatul dorit Problema 6 Pentru a măsura temperatura se poate folosi scala de temperatură empirică t bazată pe parametrul dependent de temperatură, de ex. volumul Găsiți relația dintre o temperatură empirică t și temperatura absolută utilizând un proces adiabatic cvasi-static înlocuiți 4 Soluție Utilizând relațiile (U /) (/) + = și = (/) în ecuația de bază (/) (/) CU đq = U d + U d + pentru un proces adiabatic obținem = C d + (/) d Pentru temperatura empirică dată

UU d 'Q = du + d = d + d + pentru a găsi cantitatea de căldură primită de la sistem UQ = + d și cantitatea totală de căldură schimbată de sistem 3 4 Q + Q = W = d + d + d + d 3 4 Deoarece cele două izoterme ale ciclului sunt infinit apropiate una de cealaltă, 4 () (d) (/) d 3 Prin urmare, 4 3 Q + Q () d + (d) d = () d (d ) d = dd 3 4 Transformăm raportul Q/+ Q/= pentru ciclul Carnot specific QQQ d QQ + Q d + = + = Q = Înlocuim în relația de mai sus expresiile pentru Q + Q și Q și obținem U d = + d Deoarece un punct este un punct arbitrar al izotermei care trece prin punctul său U = + Sarcină Aerul condiționat este un motor termic care poate funcționa în două moduri. Iarna funcționează ca o pompă de căldură luând pe unitate cantitatea de timp de căldură Q din mediul înconjurător la temperatură și transferă cantitatea de căldură Q în cameră la temperatura> Prin vară funcționează ca o mașină frigorifică luând pe unitate de timp cantitatea de căldură Q din cameră la temperatură și transferând cantitatea de căldură Q la mediu la temperatura> Iarna (vara) camera pierde afara

s M Folosim relația Maxwell = unde M im = Înlocuim aici cu M = χ/µ și obținem egalitatea necesară Problemă Demonstrați următoarea relație între magnetostricția de volum și derivata momentului magnetic M la presiunea M = Dovediți că la creșterea izotermă a câmpului de la zero la modificarea relativă a volumului при/at Δ/SSC> și ()/UUU> SS Prima inegalitate dă U = => SSC din inegalitatea de mai sus urmează C> A doua condiție pe care o transformăm deci UUUSSSSSS = + = () () () () () () (/) ()/= = = => SS/S/C Din moment ce C> urmează din inegalitatea de mai sus ()/C Soluție Începem de la expresie pentru ds SSSS ds = d + d = d + d Împărțiți a doua ecuație la (d și găsiți) SSS = + Folosind raportul lui Maxwell pentru (S) și ecuația lanțului pentru () putem să zap găsim ecuația de mai sus sub forma/C C =/=/K/Din această ecuație și din inegalitatea K> rezultă că este întotdeauna satisfăcută și C> C 35

Problema 3 Demonstrați că KS> K Soluție Începem de la expresia pentru dd = d + ds = d + d SS Împărțiți a doua ecuație cu (d și găsiți) S = + SS Folosind ecuația lanțului pentru () și relația lui Maxwell pentru ( S)) putem scrie egalitatea de mai sus sub forma/SKK =/CS/Din această egalitate și din inegalitatea C> rezultă că KS> K este întotdeauna satisfăcut. Problema 4 Demonstrați următoarea teoremă pentru semne: SS și (S /)> urmează că () și (S /) (/) semne identice/S În mod similar din egalitatea lanțului = ei α SS = SS și (S /)> urmează că () și (S /) (/) semne egale/S Analog cu egalitatea lanțului = ei β S și β au și α au 36