Structuri periodice Structuri periodice Structuri periodice

Structuri periodice

Sisteme cu simetrie periodică Un fragment (celulă elementară) se repetă în spațiu la o anumită distanță în mai multe direcții. Simetrie periodică (translațională) În funcție de dimensiunea traducerii, sistemele periodice sunt împărțite în: 3D - cristale 2D - suprafață (suprafață, placă) 1D - polimeri (polimeri) 0D - molecule

Vectorii de traducere  - vectorul de traducere a, b, c - vectorii unitari ai celulei elementare , ,  - unghiurile de traducere ale celulei elementare P, Q, R, S - direcții caracteristice în cristal

Spațiu invers Fiecare vector de traducere în spațiul normal poate fi scris ca: r = n1a + n2b + n3c ni - numere întregi; a, b, c - vectori cu rețea unică. Vectorii de traducere descriu direcțiile în cristal și planurile pot fi scrise folosind indicii de direcție: ruvw = ua + vb + wc  [uvw] În mod similar, se poate defini un vector de traducere al rețelei inverse: r * = m1a * + m2b * + m3c * mi - numere întregi; a *, b *, c * - vectori unici ai rețelei inverse. Planurile sunt scrise ca: ghkl = ha * + kb * + lc *  (hkl) h, k, l - Indici Miller ai planului (hkl).

Spațiul invers h = 1/P; k = 1/Q; l = 1/R P, Q, R - coordonatele punctelor de intersecție ale planului cu cele trei axe de translație După divizare, indicii Miller sunt întotdeauna reduși la numere întregi!

Coordonate fracționate În mod tradițional, atunci când intrați în pachete de calcul, coordonatele atomice nu sunt setate în Å, ci în așa-numitele coordonate fracționale. Coordonatele fracționate reprezintă coordonatele carteziene împărțite la magnitudinea vectorului de translație în direcția dată. Axele de traducere și coordonate carteziene trebuie să coincidă.  Convenție pentru stabilirea coordonatelor în Crystal03

Coordonate fracționate C 0.000 3.523 0.000 C 3.550 3.311 1.205 C 2.130 3.311 1.205 C 1.420 2.699 2.265 C 0.000 2.699 2.265 C 3.550 1.762 3.051 C 2.130 1.762 3.051 C 1.420 0.612 3.469 C 0.000 0.612 3.469 C 3.550 -0.612 3.469 C 2.130 -0.612 3.46. Coordonate carteziene Coordonate fracționate C 0,000 3,523 0,000 C 0,833 3,311 1,205 C 0,500 3,311 1,205 C 0,333 2,699 2,265 C 0,000 2,699 2,265 C 0,833 1,762 3,051 C 0,500 1,762 3,051 C 0,333 0,612 3,469 C 0,000 0,612 3,469 C 0,833 -0,612 3,469 C 0,500 .

Teorema lui Bloch Vector de undă Conform unei teoreme formulate de F. Bloch, funcția de undă a unui tabel periodic este un produs al celulei elementare și un factor de fază, care este responsabil pentru păstrarea simetriei de translație a densității electronilor. Factorul de fază este o undă plană al cărei vector de undă este o combinație liniară de vectori de rețea inversă. Vector de undă Funcție periodică care descrie celula elementară Factor de fază (undă plană) Orbital de cristal

Teorema lui Bloch Felix Bloch în „Reminiscențele lui Heisenberg și primele zile ale mecanicii cuantice” explică modul în care investigația sa asupra teoriei conductivității în metal a condus la ceea ce este acum cunoscut sub numele de teorema lui Bloch. „Când am început să mă gândesc la asta, am simțit că principala problemă a fost să explic cum electronii se pot strecura cu toți ionii într-un metal, pentru a evita o cale liberă medie de ordinul distanțelor atomice. O astfel de distanță a fost mult prea scurtă pentru a explica rezistențele observate. Pentru a-mi face viața mai ușoară, am început prin a lua în considerare funcțiile de undă într-un potențial periodic unidimensional. Prin analiza Fourier directă, am aflat spre încântarea mea că unda diferă de unda plană de electroni liberi doar printr-o modulație periodică. Acest lucru a fost atât de simplu încât nu mi-a venit să cred că ar putea fi o mare descoperire, dar când i-am arătat lui Heisenberg mi-a spus imediat: „Gata!” Ei bine, asta nu a fost încă totul, iar calculele mele au fost finalizate abia în vară, când am scris teza mea despre „Mecanica cuantică a electronilor în rețelele de cristal”. [F. Bloch 1976, p.26] ”

Baze - unde plane Avantaje Pachete cu baze planewave Soluțiile obținute în cadrul formalismului dezvoltat de Bloch necesită funcții de bază cu periodicitate adecvată waves unde plate. Avantajele descriu atât factorul CE, cât și factorul de fază; funcții de bază ortogonală; manipulări computaționale rapide; transformare Fourier ușoară între spațiul drept și cel din spate. O descriere corectă a funcțiilor de undă necesită un număr semnificativ de unde plane de bază, ceea ce mărește drastic timpul de calcul pse pseudopotențiale  ECP sunt utilizate intens. Pachete cu baze planewave CASTEP; CPMD; VASP; FLOARE; SIESTĂ; Pachete WIEN cu baze de cristal CRISTAL; Demon; GAUSSIAN

Baze - unde plane     Spațiu real  De obicei ecuațiile sunt rezolvate în spațiul invers și de aceea este important să o descriem cu un număr suficient de k-puncte.  Spațiu real  Spațiu invers

Condiții limită ciclice Uneori, pentru a evita efectele finite și pentru a rezolva mai ușor ecuațiile periodice, se folosește un tip special de condiție periodică, introdus de Bourne și von Karman - condiții limită ciclice. În cazul unidimensional. . capul și coada polimerului coincid. Cazurile bidimensionale și tridimensionale sunt modelate în mod similar.

Selectarea unei celule elementare Alegerea unei celule elementare este ambiguă! Uneori depinde de el dacă va fi obținut rezultatul final corect. Poliacetilenă Distribuție diferită a zonelor în jurul nivelului Fermi.

Celula superelementară În unele cazuri periodicitatea sistemului este perturbată (defecte, suprafețe, adsorbție etc.) sau proprietatea studiată este specifică (magnetism, superconductivitate). Pentru a aplica teoria periodică este necesar să se utilizeze așa-numitul supercel - partea non-periodică este „înconjurată” de suficient vid și supercelul rezultat este tradus în spațiu. Defectează suprafața moleculei (placa) Verifică întotdeauna dacă rezultatele sunt invariante cu o mică modificare a dimensiunii supercelulei! 

Structura zonelor În sistemele periodice, MO-urile monomerilor (EC) sunt grupate în continuă a stărilor numite zone. Fiecare zonă are o anumită lățime  legătură cu magnetismul Reprezentarea grafică a energiei stărilor în funcție de vectorul de undă se numește structură de zonă. Zona Brillouin (BZ) - reprezintă celula elementară din spațiul invers sau volumul din jurul unui nod, obținut fără a traversa Câmpia de coastă. Soluțiile obținute pentru ZB le caracterizează pe deplin pe cele ale întregului cristal. Limitele LB sunt  /a

Nivelul Fermi Funcția Fermi Nivelul Fermi este cea mai înaltă stare ocupată de energie din electroni într-un tabel periodic la T = 0 K. Este, de asemenea, definit ca potențialul chimic al electronului. La temperaturi mai ridicate, unii dintre electroni pot avea o energie mai mare decât conexiunea directă EF conductivitate electrică. Funcția Fermi

Densitatea stării (DOS) Densitatea stării este numărul de stări corespunzătoare unui vector de undă dat, i. oferă o idee despre cât de dens populate sunt anumite condiții. DOS poate fi conceput pentru a contribui la anumite părți ale CE.

Date de intrare (Crystal03) TEST03 POLIMER 1 4.26 36 6 0.0000 3.52299 .00000 6 0.8333 3.31053 1.20493 6 0.5000 3.31053 1.20493 6 0.3333 2.69877 2.26454 6 0.0000 2.69877 2.26454 6 0.8333 1.76150 3.05100 6 0.5000 1.76150 347511 6 0.333. END 6 2 1 0 3 2. 0. 1 1 3 4. 0. 99 0 END DFT B3LYP. . BAZĂ 0 6 4 1 0 17 0,06 2000. 1 3 1 0,8 0,8 1 3 2 0,12 0,32 1 4 1 0,3 0,3 99 0 FINAL TOLINTEG 5 5 5 5 11 FINAL 8 4 8 TOLSCF 4 4 FINAL PPAN