paralelepiped

Paralelipiped (din greacă: παράλλος - paralel; επιπεδον - plan) este un corp geometric cu șase pereți și doisprezece margini, care sunt două paralele și opt vârfuri. Este un caz special al unei prisme cu patru pereți cu o bază paralelă. Varianta în care toți pereții fac un unghi drept cu cei care nu sunt paraleli cu ei este cel mai adesea luată în considerare - paralelipiped dreptunghiular. Un paralelipiped dreptunghiular ale cărui margini sunt la fel de lungi se numește cub. Toți pereții unui paralelipiped arbitrar sunt paralele, ale unui paralelipiped dreptunghiular - dreptunghiuri și ale unui cub - pătrate .

Prima utilizare cunoscută a numelui a fost în Elementele lui Euclid.

Paralelepiped: Volum

Volumul unui paralelipiped dreptunghiular este egal cu produsul lungimii, lățimii și înălțimii sale. În cazul unui cub, acestea sunt egale, iar volumul său este egal cu a treia putere din lungimea țării. Cazul general poate fi adus prin deplasare către un paralelipiped dreptunghiular, iar volumul unui paralelipiped arbitrar este egal cu produsul zonei bazei și înălțimea acesteia.

V = S A B C D ⋅ x \ cdot x>

Este posibil să se calculeze volumul prin metodele de calcul vector: dacă unul dintre vârfuri este luat ca începutul unui sistem de coordonate cartezian și cele trei margini care ies din vârf sunt reprezentate ca vectori a → = (a 1, a 2, a 3) = (a_, a_, a _)>, b → = (b 1, b 2, b 3)> = (b_, b_, b _)> și c → = (c 1, c 2, c 3)> = (c_, c_, c _)>, atunci volumul este egal cu valoarea absolută a produsului mixt al vectorilor (a →, b →, c →),>,>)> .

V = | (a →, b →, c →) | = | d e t (a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3) |,>,>) | = \ left | > \ left (a_ & a_ & a _ \\ b_ & b_ & b _ \\ c_ & c_ & c_ \ end> ​​\ right) \ right |>

  • Dovadă:

Deoarece SABCD = ‖ a → × b → ‖ = \ Vert \ times> \ Vert> și h = ‖ proja → × b → c → ‖ _ \ times >>> \ Vert>, formula pentru volumul unui paralelipiped capătă următoarea formă: V = ‖ a → × b → ‖ ⋅ ‖ proja → × b → c → ‖ = ‖ a → × b → ‖ ⋅ ‖ (a →, b →, c →) ‖ a → × b → ‖ 2 (a → × b →) ‖ = ‖ a → × b → ‖ ⋅ | (a →, b →, c →) | ‖ A → × b → ‖ = | (a →, b →, c →) | V = \ Vert \ times> \ Vert \ cdot \ Vert \ mathrm _ \ times >>> \ Vert & = \ Vert \ times> \ Vert \ cdot \ left \ Vert,>,>)> \ times> \ Vert> >> (\ times>) \ right \ Vert \\ & = \ Vert \ times> \ Vert \ cdot,>,>) |> \ times> \ Vert >> \\ & = | (,>,>) | \ end >>

Paralelepiped: Proprietăți

Unele proprietăți geometrice ale unui paralelipiped sunt:

  • paralelipipedul este central simetric în raport cu mijlocul diagonalei corpului său (o consecință a simetriei centrale a pereților săi);
    • fiecare segment cu capete pe un paralelipiped și care trece prin mijlocul diagonalei corpului său este bisectat de acest mediu;
    • în special, toate diagonalele corpului se intersectează și se bisectează la un punct;
  • marginile paralele ale paralelipipedului sunt egale în lungime;
  • pereții paraleli sunt identici paraleli și respectiv au aceeași circumferință și zonă;
  • pătratul lungimii diagonalei corpului unui paralelipiped dreptunghiular este egal cu suma pătratelor celor trei dimensiuni ale sale (o consecință a teoremei lui Pitagora).

Paralelipiped în alte limbi