Conceptul de model matematic și modelare

model

În dezvoltarea sa istorică, matematica a fost întotdeauna strâns legată de aplicația sa practică. Din cele mai vechi timpuri, necesitatea dezvoltării anumitor metode matematice pentru rezolvarea problemelor practice. De exemplu, după dezastre naturale (revărsări de râuri etc.), granițele terenurilor pe care oamenii le-au cultivat au fost șterse și au trebuit să găsească formele și dimensiunile adecvate, astfel încât să restabilească aceeași zonă pe care toată lumea o deținea înainte de dezastru.

Pe de altă parte, matematica s-a dezvoltat din nevoile logicii sale interne, adică. la un nivel abstract și adesea, mai târziu, odată cu dezvoltarea matematicii în sine sau a altor științe, această abstractizare și-a găsit aplicarea. Un exemplu în acest sens este geometria lui Lobachevsky-Boyai, care a fost utilizată ulterior atât în ​​geometria însăși, cât și în fizică - în așa-numita teorie specială a relativității (Einstein, Lorenzi etc.).

În stadiul actual al dezvoltării cunoștințelor, multe dintre ramurile sale sunt de neconceput fără aplicarea matematicii și acest lucru determină apariția unor noi părți ale acesteia, cum ar fi statisticile matematice - o știință care studiază metodele de procesare a rezultatelor observațiilor, economia matematică - studiază modele în economie etc. Desigur, nu ar trebui să omitem în această listă științele tradiționale - fizică, chimie și biologie, unde metodele matematice sunt unul dintre principalele instrumente pentru studierea proceselor și fenomenelor din ele.

Prin urmare, matematica trebuie predată în așa fel încât acest proces să corespundă strânsei legături cu alte științe. Desigur, această legătură trebuie să fie reciprocă.

Conceptul de model matematic

Aplicarea matematicii în alte științe se exprimă în principal în studiul așa-numitului model matematic, descriind cu o anumită acuratețe un proces real dat. În ceea ce privește construcția modelului matematic în sine - acesta este un proces complex în care rolul principal îl joacă specialiștii relevanți din științele private, în care sunt aplicate metodele matematice. Rețineți că odată cu dezvoltarea calculelor electronice, modelarea matematică a devenit o metodă științifică generală, care este observată în esență în majoritatea domeniului cunoștințelor științifice.

Un model în sensul larg al cuvântului înseamnă o imagine, descriere, desen sau prototip al unui obiect, un set de obiecte, fenomene. De exemplu, un glob geografic poate fi văzut ca un model al globului. Sarcina noastră este de a clarifica conceptul de model matematic.

Pr. Paul oferă următoarea „definiție” a acestui concept în povestea sa de sci-fi The Schematic Man. "Trebuie să-ți spun ce este un model matematic, nu-i așa? Bine. Foarte simplu. Este un fel de imagine a ceva făcut din numere. O folosești pentru că e mai ușor să faci mișcarea numerelor decât să faci lucruri reale. Să te miști". Deși în formă distractivă, aici se reflectă două dintre trăsăturile caracteristice ale modelelor matematice - abstractitatea și avantajul lor față de mecanic.

Definiție 1. Modelul matematic al unui obiect, proces sau fenomen este un sistem de dependențe matematice care descrie caracteristicile lor.

Prin urmare, crearea unui model matematic necesită o tranziție de la un obiect real la un model matematic abstract, abandonând nesemnificativul, nesemnificativul pentru obiect și ținând cont doar de cele mai semnificative cantități care îl caracterizează.

Newton a comparat acest proces de traducere a textului dintr-o limbă în alta. O propoziție este ușor de tradus dacă poate fi tradusă cuvânt cu cuvânt, dar atunci când conține expresii, o astfel de traducere este imposibilă și în acest caz se acordă mai puțină atenție cuvintelor individuale și mai mult sensului general. Prin urmare, în procesul de compilare a modelului matematic, sunt utilizate cele două metode de cunoaștere științifică: analiza (literal - descompunere, disecție, analiză) - prin descompunerea obiectului în părțile sale componente, caracteristicile sale definitorii sunt separate; sinteza (literal - alăturarea, adunarea) este o metodă de cercetare, studiu al obiectului în întregime, legătura reciprocă între părțile sale separate. În acest fel, se găsesc legăturile dintre caracteristicile sale individuale.

Din cele spuse până acum, este clar că modelul matematic ar trebui să reflecte trăsăturile esențiale ale obiectului modelat, iar cele secundare ar trebui abandonate. Acest lucru se realizează printr-o analiză adecvată. Pe de altă parte, modelul matematic trebuie să fie suficient de simplu pentru a fi studiat, dar în același timp suficient pentru a corespunde obiectului real, pentru a-l „descrie”. Acest lucru se realizează printr-o sinteză adecvată.

Pentru obiectele mai complexe, sunt construite mai multe modele care le descriu cu una sau alta acuratețe. De exemplu, uneori în prima etapă construim așa-numitul model matematic liniar (ecuațiile, inegalitățile etc. care îl definesc sunt liniare). Dar dacă nu îndeplinește cerințele noastre de acuratețe, prin rafinarea relațiilor dintre mărimile de bază individuale (caracteristici), ajungem la construirea așa-numitei metode neliniare.

Etape în construcția modelului matematic

Etapele modelării pot fi descrise astfel: Etapa I - construirea modelului matematic. Pe baza analizei efectuate (observații, experimente etc.) se determină principalele cantități care caracterizează obiectul real. Conexiunile (dependențele) dintre ele sunt găsite și înregistrate prin operații și relații. Formulele, ecuațiile etc. obținute în acest mod. reprezintă modelul matematic al acestui obiect. Astfel problema dată este scrisă în „limbaj” matematic și poate fi rezolvată și investigată prin metode matematice.

În multe probleme aplicate, această etapă este una dintre cele mai dificile, deoarece cunoștințele necesare se află la granița dintre cel puțin două științe private, dintre care una este matematica, adică. este necesar să se combine metodele acestor științe private, de unde și complexitatea.

Etapa II - rezolvarea și studierea modelului matematic. În acest stadiu, obiectul real este abandonat și se rezolvă doar problema matematică (modelul matematic). În afară de aparatul matematic, tehnologia computerului joacă și un rol important aici. În plus, trebuie remarcat faptul că uneori procese esențial diferite sunt descrise de același model matematic. De exemplu, același tip de ecuație diferențială (o ecuație la care participă derivați de cantitate necunoscută) descrie decăderea radioactivă, procesele de transfer termic și altele. aceasta oferă temeiuri pentru a lua în considerare astfel de probleme matematice tipice în mod independent, abstractizându-se de la fenomenele studiate.

Etapa III - evaluarea adecvării modelului. Deoarece modelul matematic este construit pe baza unei simplificări a relațiilor mărimilor individuale, rezultatele obținute din acesta sunt aproximative. În această etapă se clarifică în ce măsură aceste rezultate sunt în concordanță cu observațiile (rezultate experimentale etc.) asupra obiectului real. În acest fel, se face o evaluare a adecvării modelului pentru studiul unui obiect real, precum și a limitelor aplicabilității acestuia la acesta. Dacă această evaluare nu este satisfăcătoare, atunci este necesar să se rafineze, să se completeze modelul. De asemenea, poate fi complicat inutil, iar scopul dat poate fi atins cu un model mai simplu. Toate acestea duc la o îmbunătățire a modelului.

Etapa IV - îmbunătățirea modelului. În legătură cu noile rezultate obținute, se face o analiză a modelului matematic și se poate dovedi că rezultatele obținute într-un stadiu dat nu corespund noilor noastre cunoștințe despre fenomen. Atunci este necesar să construim un model nou, mai perfect. Istoria abundă în astfel de exemple. Tipic în acest sens este modelul sistemului solar. Analiza primară a observațiilor cerului înstelat în cele mai vechi timpuri permite planetelor să fie separate de numărul uriaș de corpuri cerești ca obiecte de studiu. Astfel, Ptolemeu a construit primul model al sistemului solar - geocentricul, conform căruia planetele orbitează Pământul, care este centrul universului. În secolul al XVII-lea, Copernic a formulat cele trei legi ale mișcării planetare:
1. Toate planetele se mișcă în elipse și Soarele se află într-unul din focarele lor;
2. În mișcarea sa, raza R, care leagă o planetă de Soare, „spală” zone egale la intervale egale;
3. Există o conexiune A3 între semiaxa principală A a elipsei și perioada T a orbitei planetei: T2 = const

În acest fel, este dată o descriere a mișcării planetelor fără a se explica motivele naturii acestei mișcări. Acest lucru a fost realizat de Newton la sfârșitul secolului al XVII-lea. Folosind legile lui Kepler, el a făcut presupunerea foarte îndrăzneață la momentul respectiv că căderea liberă a corpurilor și mișcarea Lunii în jurul Soarelui se bazau pe același principiu (mg = G). Acest exemplu ilustrează foarte bine procesul de modelare atunci când obiectul real este prea complex.

Rețineți că aceste etape nu trebuie luate literalmente ca o secvență strictă. Uneori, construcția unui model matematic necesită tranziții multiple de la o etapă la alta. La modelele mai simple, unele dintre ele pot fi omise. Enumerarea acestor etape este, în esență, o modelare a procesului complex de abstractizare, creând un model matematic.

Modelele matematice pot fi clasificate în funcție de diverse caracteristici. Am menționat deja un model matematic liniar și neliniar (în funcție de tipul de ecuații corespunzătoare, de inegalități etc.)